狭义相对论是怎么掺和到电磁学中的?

时间2018-06-29 作者蝶动探秘

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本文为纯公式推导文章,喜欢理论研究的朋友可以继续往下看,不喜欢的可以看看其他文章。本文大写字母为矢量,本文只描述真空中质点的运动情况,不描述形状物体在介质中的运动情况。

本文出现的质点概念,是我们为了描述物体在空间中运动的方便,不考虑物体的形状和线长度,把物体理想化,看成一个点,称为质点。本文中如果要讨论质点的体积和几何长度是没有意义的,因为违反了我们的约定。

大家可能有一个疑问,学习电磁学,为什么要学习狭义相对论?狭义相对论又是怎么掺和到电磁学中的?

经典电磁学不需要相对论,也可以是一门独立完整的学科,但是,狭义相对论可以使我们更加深刻的认识电磁本质,本文从逻辑和数学出发,来论证狭义相对论是如何掺和到电磁学中。

电磁学认为:一个点电荷q相对于我们观察者静止,其周围只是分布了静电场E,E以q为中心,呈辐射式分布,正电荷的E是发散的,负电荷的E是从无限远处的空间向负电荷收敛

当q以速度V相对于我们观察者沿着笛卡尔坐标系的x轴正方向匀速直线运动的时候,可以引起V垂直方向的电场Ey,Ez的变化,E变化的部分我们就可以叫磁场B,并且,可以认为这个就是磁场B的定义的来源。

狭义相对论给出了电场E和磁场B以及场源头运动速度V之间的一个简单的叉乘关系:

B = V×E/c²

可以说,在电磁学中,磁场只是电场变化而得到的。

我们现在提出一个问题:

以上的电荷q相对于我们观察者以速度V沿着x轴方向匀速直线运动,现在设想有另一个观察者o’静止在q上,随着q一同运动,这样,观察者o’认为电荷q没有产生磁场,而我们观察者认为电荷q产生了磁场,二者到底是谁说了算?

狭义相对论给出的解释是磁场只是电场的相对论效应而已。磁场是电场运动变化部分,我们人为的把运动电场变化部分用磁场这个词描述了出来。

统一场论在相对论基础上发展起来的,统一场论明确指出,场的本质是物体外一柱状螺旋式运动变化的空间。所谓的有磁场还是没有磁场的区别只是电荷周围空间有没有那种运动变化而已。

统一场论首先给出了引力场和质量的定义,然后指出,电磁场只是引力场的变化形式。

统一场论中给出的质量、引力场的几何定义方程是:

设想一个质点o相当于我们观察者静止,在零时刻一个几何点p以光速度C【统一场论认为光速可以为矢量,用大写字母表示,矢量光速可以变化,标量光速用小写字母c表示,c不可以变化,本文大写字母为矢量】从o点出发,沿某一个方向运动,经历了时间t,在t'时刻到达p所在的位置,让点o处于直角坐标系xyzo的原点,由o点指向p点的矢径为R = C t = x i+ y j + z k

R是空间位置x,y,z的函数,随x,y,z的变化而变化,记为:

R = R(x,y,z,)

我们以 R = Ct中R的长度r为半径作高斯球面s = 4πr²【内接球体体积为4πr³/3】包围质点o。

o点周围的引力场A表示o点周围在体积4πr³/3内有n条几何点的位移矢量R = Ct,

A = k g n R /(4πr³/3)

k为比例常数。 g为万有引力常数。

而质点o的质量m就表示在高斯球面s = 4πr²【内接球体体积为4πr³/3】内,包含几何点矢量位移R =Ct的条数n和立体角度4π的比值。

m = 3 k n /4π

这样,以上的引力场方程A = k g n R /(4πr³/3) 可以写为:

A = g m R /r³

以上引入的质量方程m = 3k n /4π中角度是常数4π,实际上角度可以是变量,在0和4π之间变化,n和m都可以是变量,质量方程仍然成立。

我们引入立体角Ω概念,把质量方程 m = 3k n /4π写成普遍形式:

m = k n /Ω

相应的有比较普遍的引力场方程:

A = g m R /r³ = g k n R/Ωr³

相应的高斯面为s = Ωr²

实际上高斯面不只是正球面,可以是任意封闭曲面,但是,曲面是光滑的,并且没有破损。高斯曲面内接球体也可以是任意形状,但是,表面是光滑的,并且没有孔洞的。

在统一场论中,以上的质量为m的质点o在周围空间p处产生的电场E定义为万有引力场随时间t变化而产生的。

也就是电场E = 常数乘以dA/dt

=常数乘以d/dt(g k’mR /r³)

=g k R(dm/dt) /ε。4π r³ + g k m(dR/dt) /ε。4π r³

= g k R(dm/dt) /ε。4π r³ + g k m C/ε。4π r³

g ,k为常数,ε。为真空介电常数。

以上的的o点,质量为m,如果带有电荷q,由o点指向p点的矢径为R,在周围空间p处产生了静电场E有两种形式,我们用质量m随时间t变化量来表示电荷,相应的 在p点产生的电场E为:

E= q R/4πε。r³ = k(dm/dt)R/4π ε。r³

当o点相对于我们以速度V运动的时候,可以引起V垂直方向的电场E的变化,变化的部分我们可以认为是磁场B【这种看法和相对论是一样的】

很简单的想法是电场E乘以速度V就是磁场B ,由于速度V和电场E相互垂直时候,产生的磁场最大,因而它们之间是叉乘,所以有以下关系,

B = 常数乘以(V ×E)

由相对论和电动力学我们知道运动电场E的几何形式方程可以写为:

E = Ψ q R/4πε。r³ = Ψk( dm/dt)R/4πε。r³,

其中运动电场相对论修正相

Ψ=(1-v²/c²)/【√[1- (v²/c²)sin²θ]】³ ,

上式中θ为矢径R和x轴的夹角,由以上可以得出磁场B 的几何形式方程,

B = 常数乘以【V ×(Ψ qR/4πε。r³)】

= 常数乘以【V ×Ψ k( dm/dt)R/4πε。r³】

合并常数,由于我们这里讨论的是在真空情况下,以上与磁场B相关的常数用真空磁导率μ。表示。

B = μ。【V ×Ψk(dm/dt)R/4π r³】

以上就是真空中磁场的几何形式方程,由这个方程可以得出和电场、磁场相互关系满足:

B =μ。【V ×Ψk(dm/dt)R/4π r³】

= μ。【V ×(Ψ qR/4π r³)】

= μ。【V ×ε。(Ψ qR/4πε。r³)】

= μ。ε。【V ×(Ψ qR/4πε。r³)】

= μ。ε。(V ×E)

在统一场论中,当电场E和磁场B都在曲线上分布,E可以用矢量光速C表示,而磁场B的方向在V和C所在的平面的垂直方向上,B的数量可以表示为v/ c

v是电荷运动速度V的数量,c是标量光速。根据前面的磁场B是电场E乘以电荷运动速度V的看法,结合磁场B的数量可以表示为v/ c, 以及电场E可以用矢量光速C表示的看法,有下式

B = 常数乘以V×C/ c²

v/ c在统一场论可以表示为cosθ, 也就是磁场B数量可以表示为v/ c =cosθ,磁场B 的方向在矢量C和V构成的平面的垂直方向上。这样,以上方程可以写为:

B = 常数乘V×C/ c² = V×E/ c²

把以上式和 B = μ。ε。(V ×E)相比较,可以明显看出真空磁导率和介电常数乘积就是光速平方的倒数。

从相对论的洛伦茨变换可以这样理解磁场的出现:

电荷周围的电场本质是电荷周围空间以柱状螺旋式运动而产生,我们知道柱状螺旋式运动是旋转运动和旋转平面垂直方向的直线运动的叠加。

当电荷静止的时候,周围空间分布是均匀的,各向同性的,旋转运动由于相互抵消而运动量为零。严格的数学描述是这样的,一个曲面,可以看成是高斯曲面的一部分,这个曲面上分布了均匀的磁场线,有多少个磁场线穿进来,就有多少个磁场线穿出去,这样一进一出相互抵消为零。

当电荷一旦以速度V沿着笛卡尔坐标系的x轴正方向运动的时候,可以引起x轴正方向的空间收缩,这样,空间的均匀性被打破,我们将高斯曲面分解为垂直于x轴的平面和平行于x轴的平面。

这样,垂直于x轴的平面上分布磁场线的密度没有变化,而平行x轴的平面的磁场线分布的密度增大了。由于平行于x轴的平面是围绕着x轴环绕分布,所以,磁场是围绕着x轴环绕分布。

其实关于磁场的安培定理、毕奥---萨伐尔---拉普拉斯定理、麦克斯韦位移电流假说,最后都可以归结于麦克斯韦位移电流假说---在曲面上变化的电场,可以产生曲面边界分布的环绕线性分布的磁场。

而这一却,都可以用狭义相对论洛伦茨变换求出来。

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